Есть вопросы?
На продолжении стороны АС треугольника АВС отмечена точка
геометрия

На продолжении стороны АС треугольника АВС отмечена точка М. Известно, что СМ=2АС, угол СВА=15 град., угол САВ=45 град. Найдите угол АМВ.

Оставить ответ
1

Ответ №1



Исходя из того, что в любом треугольнике сумма углов равна   180^o \ ,    легко понять, что   \angle BCA = 120^o \ .

Для любого треугольника верно, что отношение любой его стороны к синусу противолежащего угла – постоянно, тогда:

[1]    \frac{AB}{ \sin{ 120^o } } = \frac{CB}{ \sin{ 45^o } } \ ;

Проведём   CN \    так, чтобы   \angle BCN = 45^o \ .

Тогда   \angle CNB = 120^o \ .

Опять же из соотношения синусов:

[2]    \frac{CB}{ \sin{ 120^o } } = \frac{NB}{ \sin{ 45^o } } \ ;


Перемножим выражения [1] и [2]:

\frac{AB}{ \sin{ 120^o } } \cdot \frac{CB}{ \sin{ 120^o } } = \frac{CB}{ \sin{ 45^o } } \cdot \frac{NB}{ \sin{ 45^o } } \ ;

\frac{AB}{ \sin^2{ 120^o } } = \frac{NB}{ \sin^2{ 45^o } } \ ;

[3]   AB \sin^2{ 45^o } = NB \sin^2{ 120^o } \ ;


Учитывая, что:   \sin{ 120^o } = \sin{ 60^o } = \frac{ \sqrt{3} }{2} \    и   \sin{ 45^o } = \frac{ \sqrt{2} }{2} \ ,    а значит:

\sin^2{ 120^o } = \frac{3}{4} \    и   \sin{ 45^o } = \frac{1}{2} \ ,    получим из выражения [3] :

AB \cdot \frac{1}{2} = NB \frac{3}{4} \ ;

AB = NB \frac{3}{2} \ ;

NB = \frac{2}{3} AB \ ;


Это как раз и позволит разрешить поставленный вопрос.

NA = \frac{1}{3} AB \ ;

т.е.: NA : NB = 1 : 2 = CA : CM .

По Теореме Фалеса, пропорциональные отрезки на сторонах треугольника отсекаются параллельными прямыми, а значит:

MB || CN \ ;

\angle M = \angle NCA = 180^o - 60^o - 45^o = 75^o \ ;


О т в е т : 75^o \ .



если понравился ответ скажи

Знаете ответ?

Популярные вопросы

В трапеции ABCD основание AD вдвое больше основания ВС и

Найдите неизвестные углы помогите плиз, я плохо понимаю это

Диагональ трапеции делит эту трапецию на два подобных

В параллелограмме abcd cd=6 ad=8 угол d=120 1)найти углы

Контакты