Докажите что уравнение x^2-y^2=1982 не имеет решений в целых числах

Способ 1. При делении на 4 квадрат числа может иметь остатки только 0 или 1. Значит разность квадратов имеет остатки 0,1 или 3. Но 1982 при делении на 4 дает остаток 2. Т.е. равенства быть не может.

Способ 2. (x-y)(x+y)=2*991. Числа х-у и х+у всегда имеют одинаковую четность, т.е. либо оба одновременно нечетные, либо одновременно четные. В первом случае тогда 1982 было бы нечетным, а во втором делилось бы на 4. Но ни то, ни другое не выполняется.