Докажите что любую сумму денег больше семи копеек можно разменять только по три копейкам и5 копейкам

Все числа можно поделить
на три группы по признаку делимости на 3: числа вида 3n, 3n+1, 3n+2

1.      
числа,
которые делятся на 3 без остатка - их можно отсчитать 3-копеечными монетами или
при помощи кратного трем количества пятикопеечных монет и недостающего
количества трехкопеечных, таким образом, мы получаем все суммы вида 3n – 3, 6, 9, 12, 15 и т.д.

2.      
Числа, дающие
при делении на 3 остаток 1 – это числа 1, 4, 7, 10, 13, 16 и т.д. Очевидно, что числа
1, 4 и 7 мы не можем набрать при помощи 3 и 5-копеечных монет. Минимальное
получающееся из предлагаемого комплекта монет число – 10, т.е. 5+5, все
остальные числа вида 3n+1 набираются путем прибавления к 10 требующегося количества трехкопеечных
или кратного трем количества пятикопеечных монет – получаем 10, 13, 16, 19 и
т.д.

3.      
Числа, дающие
при делении на 3 остаток 2, минимальное число данного вида – 5, все остальные
числа вида 3n+2 мы можем получить путем прибавления к 5 требующегося количества
трехкопеечных или кратного трем количества пятикопеечных монет, получаем 5, 8,
11, 14, 17 и т.д.

Таким образом, мы
увидели, что при помощи монет номиналом 3 и 5 копеек мы можем набрать любую
сумму, кроме 1, 2, 4 и 7, а значит, любую больше 7