Докажите, что уравнение  (х-а)(х-б)+(х-б)(х-с)+(х-а)(х-с)=0 всегда имеет действительные корни

Если раскрыть скобки, то получаем квадратное уравнение
3х²-х(a+b+b+c+c+a)+(ab+bc+ac)=0
3x²-2(a+b+c)x+(ab+bc+ac)=0
Тогда D/4=(a+b+c)²-3(ab+bc+ac)=a²+b²+c²-ab-bc-ac=
=((a-b)²+(b-c)²+(a-c)²)/2≥0, т.е. уравнение имеет действительные корни.