Одно натуральное число на 1 больше другого. Может ли их произведение оканчиваться на 2016?

Нет, не может. Если бы такое натуральное n существовало, то было бы
n(n+1)=10000m+2016 при некотором m. Умножим это равенство на 4:
4n²+4n=40000m+8064
(2n+1)²=40000m+8065
Значит (2n+1)² делится на 5, но тогда и 2n+1 делится на 5, а значит (2n+1)² делится на 25. Т.к. 40000 делится на 25, то тогда и 8065 должно делиться на 25. Но 8065=5*1613, т.е. не делится на 25 - противоречие.