Знайти найменше значення виразу x^2+y^2+2x-4y.

Выделяем полные квадраты:
x^2 + y^2 + 2x - 4y = (x^2 + 2x + 1) - 1 + (y^2 - 4y + 4) - 4 = (x + 1)^2 + (y - 2)^2 - 5 >= -5, так как квадраты могут принимать только неотрицательные значения.

Равенство достигается при x = -1, y = 2.

Ответ. -5