Как в этой задаче получилось 1+2+3+4+5+6+7+8? В квадрате 5х5 проведены разрезы по некоторым сторонам квадратиков 1х1. Могло ли получиться так, что квадрат распался на 8 кусков, любые 2 из которых различны?

Что значит "различные куски"? Куски с различным количеством клеток в них? Или различными можно считать даже куски с одинаковым количеством клеток, но разные по форме? Если различное количество клеток (как следует из твоего предполагаемого ответа "1+2+3+4+5+6+7+8", такое невозможно сделать.
Если сказано, что квадрат распался на какие-то части, значит, эти части взаимно непересекающиеся. Теперь определим минимально возможный набор размеров этих частей. Опять же это 1,2,3,4,5,6,7,8. Суммируем их и получаем 36 клеток, что больше чем в самом квадрате, так как 5*5=25.