Есть вопросы?
+∞ ∑ \frac{3 ^{n}+(-4) ^{n}}{12^{n} } n=1 исследовать
математика

+∞ ∑ \frac{3 ^{n}+(-4) ^{n}}{12^{n} }  n=1 исследовать сходимость ряда,в случае сходимости найти его сумму,пожалуйста помоги ни на кого надежды нет больше

Оставить ответ
1

Ответ №1

Исследовать сходимость ряда Σ \frac{3 ^{n}+(-4) ^{n}}{12^{n}}, в случае сходимости найти его сумму.
Решение:
Для исследования сходимости удобно в начале представить данный ряд как сумму двух рядов положительного и знакопеременного
 
Σ \frac{3 ^{n}+(-4) ^{n}}{12^{n} }= \frac{3 ^{n}}{12^{n} }+ \frac{(-4) ^{n}}{12^{n} }=\frac{1}{4^{n} }+ \frac{1}{(-3)^{n} }
Оба ряда исследуем на сходимость применяя радикальный признак Коши.
Если  \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}\ \textless \ 1 , то числовой ряд сходится.
Положительный ряд
\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{ \frac{1}{4^n} }= \frac{1}{4} \ \textless \ 1
Следовательно первый ряд сходится
Второй ряд знакопеременный так как при четных значениях n значения ряда положительные при нечетных значениях n значения ряда отрицательные. Данный ряд сходится если сходится такой же полностью положительный ряд. Сходимость положительного ряда докажем аналогично предыдущему ряду.
\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{ \frac{1}{3^n} }= \frac{1}{3} \ \textless \ 1
Из сходимости положительного ряда следует сходимость знакопеременного ряда.
Следовательно из сходимости двух рядов следует сходимость суммы этих рядов или исходного ряда. 

Найдем суммы этих рядов представляющих собой бесконечную геометрическую прогрессию.
S = \frac{b_1}{1-q}
Для первого ряда
S = \frac{ \frac{1}{4} }{1- \frac{1}{4} }= \frac{1}{3}
Для второго ряда
S = \frac{ \frac{-1}{3} }{1- \frac{1}{3} }= -\frac{1}{4}
Находим сумму исходного ряда
S= \frac{1}{3}- \frac{1}{4} = \frac{1}{12}

Знаете ответ?

Популярные вопросы

CРОЧНО!!! Один тракторист может вспахать поле за 18 дней, а

Помогите напишите с решением 1.запишите дроби в порядке

Сколько граммов в 1/4 кг

Решите, срочно нужно

Контакты