Из листа картон, имеющего форму прямоугольника с размерами 18 см и 26 см, изготовили коробку без крышки. Для этого от углов листа отрезали одинаковые квадраты. Площадь основания коробки 240 квадратных см. Найти высоту коробки.

Обозначим сторону маленького квадрата за х. Тогда площадь основания коробки будет равна S=(a-2x)^2, а объем коробки будет равен V=(a-2x)^2*x=a^2*x-4*a*x^2+4*x^3. 
Для нахождения максимума объема продифференцируем эту функцию по x, получим 12*x^2-8*a*x+a^2. Приравняем производную нулю и решим полученное уравнение относительно x: 
x1,2=(8a+/-sqrt(64a^2-48a^2))/24=(8a+/-4a)/24 
x1=1/6*a 
x2=1/2*a 
Очевидно, что при x=1/2*объем коробки равен 0, и равенство производной нулю в этой точке указывает на минимум функции объема (при изменении х от 0 до 1/2*a).. 
А x=1/6*a является точкой максимума функции объема. 
Ответ: сторона вырезаемого по углам квадрата должна быть равна 1/6 части стороны исходного квадрата.