16 гномов и лилипутов сидят за круглым столом, причем больше половины из них гномы. Докажите, что какие-то два гнома сидят напротив друг друга.

Это очевидно. Если гномов и лилипутов ровно половина, по 8, то каждый гном может сесть напротив лилипута. Если же гномов больше половины, то минимум два гнома окажутся напротив друг друга.