Одно натуральное число на 2 больше другого. может ли их произведение оканчиваться на 2017?

Не может
n(n + 2) = 10000x + 2017
n^2 + 2n - 10000x - 2017 = 0
d = 2^2 + 4(10000x + 2017) = 40000x + 4*2017 + 4 = 40000x + 8072
остаток от деления на пять равен 2, значит d не может быть квадратом какого-либр числа, значит корень из d не целый, и сами n не целые