Есть вопросы?
99 баллов!!! 2 вопроса. 1.На рисунке изображены окружности
геометрия

99 баллов!!! 2 вопроса. 1.На рисунке изображены окружности с центрами в точках(см.рисунок).Отрезками соединены центры касающихся окружностей.Известно, что АВ=16,ВС=14,СD=17,DЕ=13,АЕ=14.В какой точке находится центр окружности наибольшего радиуса? 2.На продолжении стороны АС треугольника АВС отмечена точка М. Известно,что СМ=2АС,угол СВА=15 градусам, угол САВ=45 градусам. Найти угол АМВ

Оставить ответ
1

Ответ №1



1.

Обозначим радиусы окружностей, соответствуюх их центрам, как:
R_A , R_B , R_C , R_D \    и   R_E \ .

Тогда мы можем составить систему уравнений:

\left\{\begin{array}{l} R_A + R_B = AB \ , \\ R_B + R_C = BC \ , \\ R_C + R_D = CD \ , \\ R_D + R_E = DE \ , \\ R_E + R_A = EA \ ; \end{array}\right

\left\{\begin{array}{l} R_A + R_B = 16 \ , \\ R_B + R_C = 14 \ , \\ R_C + R_D = 17 \ , \\ R_D + R_E = 13 \ , \\ R_E + R_A = 14 \ ; \end{array}\right

\left\{\begin{array}{l} R_A + R_B = 16 \ , \\ R_B + R_C = 14 \ , \\ R_C + R_D = 17 \ , \\ ( R_E + R_A ) - ( R_D + R_E ) = 14 - 13 \ ; \end{array}\right

\left\{\begin{array}{l} R_A + R_B = 16 \ , \\ R_B + R_C = 14 \ , \\ R_C + R_D = 17 \ , \\ R_A - R_D = 1 \ ; \end{array}\right

\left\{\begin{array}{l} R_A + R_B = 16 \ , \\ R_B + R_C = 14 \ , \\ R_C + R_D + R_A - R_D = 17+1 \ ; \end{array}\right

\left\{\begin{array}{l} R_A + R_B = 16 \ , \\ R_B + R_C = 14 \ , \\ R_C + R_A = 18 \ ; \end{array}\right

\left\{\begin{array}{l} R_A + R_B = 16 \ , \\ ( R_C + R_A ) - ( R_B + R_C ) = 18 - 14 \ ; \end{array}\right

\left\{\begin{array}{l} R_A + R_B = 16 \ , \\ R_A - R_B = 4 \ ; \end{array}\right

R_A + R_B + R_A - R_B = 16 + 4 \ ;

2 R_A = 20 \ ;

R_A = 10 \ ;

R_B = 6 \ ;

R_C = 8 \ ;

R_D = 9 \ ;

R_E = 4 \ ;

Наибольшим является радиус окружности, построенной около центра A.



О т в е т : A .





2.

Исходя из того, что в любом треугольнике сумма углов равна   180^o \ ,    легко понять, что   \angle BCA = 120^o \ .

Для любого треугольника верно, что отношение любой его стороны к синусу противолежащего угла – постоянно, тогда:

[1]    \frac{AB}{ \sin{ 120^o } } = \frac{CB}{ \sin{ 45^o } } \ ;

Проведём   CN \    так, чтобы   \angle BCN = 45^o \ .

Тогда   \angle CNB = 120^o \ .

Опять же из соотношения синусов:

[2]    \frac{CB}{ \sin{ 120^o } } = \frac{NB}{ \sin{ 45^o } } \ ;


Перемножим выражения [1] и [2]:

\frac{AB}{ \sin{ 120^o } } \cdot \frac{CB}{ \sin{ 120^o } } = \frac{CB}{ \sin{ 45^o } } \cdot \frac{NB}{ \sin{ 45^o } } \ ;

\frac{AB}{ \sin^2{ 120^o } } = \frac{NB}{ \sin^2{ 45^o } } \ ;

[3]   AB \sin^2{ 45^o } = NB \sin^2{ 120^o } \ ;


Учитывая, что:   \sin{ 120^o } = \sin{ 60^o } = \frac{ \sqrt{3} }{2} \    и   \sin{ 45^o } = \frac{ \sqrt{2} }{2} \ ,    а значит:

\sin^2{ 120^o } = \frac{3}{4} \    и   \sin{ 45^o } = \frac{1}{2} \ ,    получим из выражения [3] :

AB \cdot \frac{1}{2} = NB \frac{3}{4} \ ;

AB = NB \frac{3}{2} \ ;

NB = \frac{2}{3} AB \ ;


Это как раз и позволит разрешить поставленный вопрос.

NA = \frac{1}{3} AB \ ;

т.е.: NA : NB = 1 : 2 = CA : CM .

По Теореме Фалеса, пропорциональные отрезки на сторонах треугольника отсекаются параллельными прямыми, а значит:

MB || CN \ ;

\angle M = \angle NCA = 180^o - 60^o - 45^o = 75^o \ ;


О т в е т : 75^o \ .



если понравился ответ скажи

Знаете ответ?

Популярные вопросы

1. В параллелограмме АВСD найдите: а) стороны, если ВС на 8

Три прямые пересекаются в одной точке и делят плоскость на

Периметр прямоугольника равен 216 м. Известно, что одна

Периметр параллелограмма равен 112см, а одна сторона из его

Контакты