Докажите, что диагональ правильного пятиугольника параллельна одной из его сторон.

А если попробовать так: проведём в правильном пятиугольнике все пять диагоналей. Они высекут внутри большого фигуру, также являющуюся правильным (ибо исходный правильный) пятиугольником, но меньшим. Из соображений симметрии как бы вытекает, что малый пятиугольник будет центрально симметричен большому исходному. Раз так, то прямая, проходящая через вершину большого, и центрально-симметричную ей вершину малого пятиугольника, будет серединным перпендикуляром как к стороне малого, так и к стороне большого. Поскольку сторона малого пятиугольника является частью диагонали большого (по исходному построению), а серединный перпендикуляр пересекает обе стороны (большого и малого) под одним и тем же углом (в данном случае прямым), то по свойству параллельности прямых о равенстве накрест лежащих углов задача доказана.
Такой вариант у вас пройдёт?