Ответ №1
Это параметрически заданная функция.
Не трудно показать, что dy/dx = y'(t)/x'(t), но мы показывать не будем, просто воспользуемся этой формулой,
получаем
x'(t) = (1/(t+1))' = ((t+1)*(1)' - 1*1) / (t+1)^2 = -1/(t+1)^2
(здесь мы использовали Quotient Rule (u/v)' = (v*u' - u*v')/v^2)
y'(t) = [(t/(t+1))^2]'= 2 * t/(t+1) * [(t/(t+1)]' = 2t/(t+1) * [(t+1)*1 - t*1]/(t+1)^2 = 2t/(t+1)^3
(здесь мы использовали Chain Rule, затем Quotient Rule, прошу прощения, я не помню, как эти правила по русски называются)
в итоге
y'(t)/x'(t) = 2t/(t+1)^3 * (-1) * (t+1)^2 = -2t /(t+1) и это наша производная.
Теперь обратите внимание на ответ №4, его можно упростить:2t^2/(1+t) -2t = (2t^2 - 2t (1+t)) / (1+t) = -2t+2t^2 -2t^2/ (1+t) = -2t/(1+t)
Это в точности наш ответ, правильный ответ №4
Знаете ответ?